روش تحلیلی در فن محاسبه

روش های تحلیلی جدید. اکنون خواننده می داند که تاریخ محاسبه با اعداد بسیار گسترده است. این فن با تمدن های باستان متولد شد و طی قرن ها رشدی مداوم داشته است. اما تا پیش از کشف لگاریتم، ریاضیدانان مسائل محدودی را می توانستند حل کنند، چون ابزارهای تحلیلی کمی برای کار داشتند. همان طور که می دانیم، قدرتمندترین این ابزارها روشی برای استخراج ریشه های دوم بود. ریاضیدانان امروزین چگونه روش های تحلیلی خود را گسترش داده اند و این فنون جدید کدامند؟ در این جا پاسخی مختصر به این پرسش ها می دهیم.
کمی پس از کشف حساب دیفرانسیل و انتگرال در اواخر قرن هفدهم، محاسبان ابزارهای جدیدی یافتند. اولین ابزار، کشف بزرگ بروک تیلور (1) بود که تعداد زیادی از توابع را می توان با استفاده از حساب دیفرانسیل به صورت سری نامتناهی ای از توان های متغیر بسط داد.
قضیه ی تیلور در سایه ی چند حالت خاص که پیش تر بسط یافته بودند به وجود آمد، مثل بسط دو جمله ایs به ازای هر مقدارp، که معمولاً به نیوتون (1676) نسبت داده می شود؛ بسط سری arc tan x توسط جیمز گرگوری در سال 1617؛ بسط

توسط نیکولاس مرکاتور (2) در سال 1668؛ و بسط

توسط جان والیس (3) در سال 1695. این ها سری های خاصی بودند که سرانجام قضیه ی تیلور روشی عمومی برای همه ی آن ها ارائه کرد.
متأسفانه تا نیم قرن بعد از کشف این قضیه قدرت آن به طور کامل درک نشد - تا زمانی که ژوزف لویی لاگرانژ از آن استفاده کرد. حتی آن موقع هم این قضیه به دقت مورد استفاده قرار نگرفت. مسئله ی همگرایی سری ها تا زمان نیلز هنریک آبل (4) و آگوستن لویی کوشی (5) در اولین سال های قرن نوزدهم به صورت مدوّن بررسی نشد.
یکی دیگر از ابزارهای محاسباتی قدرتمند بسط حساب تفاضل های متناهی بود. این موضوع با یک فرمول درون یابی که مستقلاً توسط گرگوری و نیوتون حدود سال 1670 بسط یافته بود متولد شد. جنبه های کلی تر موضوع در سال 1717 توسط تیلور بررسی شد و در نتیجه، تیلور مؤسس این شا خه ی جدید ریاضیات محسوب شد. لاگرانژ و پیرسیمون لاپلاس (6) به طور گسترده به مطالعه ی حساب تفاضل های متناهی پرداختند و ریاضیدانان قرن نوزدهم این موضوع را بیشتر بسط دادند.
برجسته ترین این ریاضیدانان جرج بول (7) بود که اولین رساله را در مورد این موضوع در سال 1860 نوشت.
حساب تفاضل های متناهی در محاسبات امروزین اهمیت بسیار زیادی دارد. در بیشتر فنونی که امروزه در آ‌زمایشگاه های محاسباتی به کار می رود از حساب تفاضل های متناهی استفاده شده است. مثلاً برای حل معادلات دیفرانسیل معمولی، چه خطی و چه غیر خطی، از روش هایی مثل روش آدامز - باشفورد، روش رونگه - کوتا، روش میلن و روش ادامه ی تحلیلی پیوسته استفاده می شود که در همه ی آن ها تفاضل های متناهی به کار رفته است. «روش استراحت» (8) در حل مسائل مقدار مرزی مربوط به معادلات دیفرانسیل با مشتقات جزئی، در صورتی که این معادلات بر حسب تفاضل های متناهی بیان شده باشند، کارایی زیادی دارد.
قرن نوزدهم نیز شاهد بسط سریع نوموگرافی، یعنی استفاده از نمودارهایی (به نام «نوموگرام») برای یافتن سریع جواب های تقریبی عبارت های تحلیلی مختلط بوده است.
بسیاری فنون تحلیلی دیگر هم ابداع شده اند. متأسفانه این روش ها فنی تر از آن هستند که به آسانی بتوان شرحشان داد و بنابراین، ذکر تاریخچه ی آن ها چندان سودمند نیست. در این جا فقط به ذکر نام چند تا از این روش ها بسنده می کنیم: ادامه ی تحلیلی، سری لوران، کسرهای پیوسته، سری های مجانی، بسط بر حسب سری سینوس ها و کسینوس ها (سری فوریه) و بر حسب دستگاه های توابع متعامد دیگر، روش های تکراری و فرمول های انعکاس مانند فرمول لاگرانژ.
بازتاب های اجتماعی ماشین های محاسب جدید. بحث خود درباره ی تاریخ محاسبه را با بحث برخورد اجتماع با کامپیوترهای بزرگ به پایان می رسانیم. این موضوع اولین بار توسط نوربرت وینر (9) در کتابی با عنوان سایبرنتیک (10) که در سال 1948 به چاپ رسید مطرح شد. عنوان کتاب از واژه ای یونانی به معنی «حاکم» گرفته شده بود و وینر از آن به معنی «تمامی حوزه ی نظریه ی ارتباطات و کنترل، چه در ماشین و چه در جانوران» استفاده کرده بود. شباهت شگفت انگیز بین ماشین محاسب و مغز انسان، این ایده را شکل می داد که در حوزه های خاصی ماشین می تواند آنچه را که انسان انجام می دهد انجام دهد و در بسیاری موارد این کار را به خوبی انسان یا حتی بهتر از انسان انجام می دهد.
گسترش های بعدی این موضوع به انقلابی اجتماعی منجر شد. اف.ج. مورِی (11) در مورد این موضوع بحث انگیز چنین اظهار نظر کرده است:
ظاهراً متناهی بودن تجربه نشان می دهد که تقریباً همیشه می توانیم مکانیسمی بیابیم که هر رابطه ی ماشینی بین یک ارگانیسم و محیطش را، مستقل از این که این رابطه چه اندازه پیچیده است، فعال کند. اما باز هم تمایزی ظریف بین مکانیسم و ارگانیسم باقی می ماند که معمولاً بر پایه ای فلسفی پذیرفته یا رد می شود. اصطلاح «ماشین متفکر» در این مورد به کار رفته است. روبوت را می توان با امکانات حرکتی مختلف برای پاسخ دادن به شرایط محیطی گوناگون ساخت. روبوت را می توان طوری ساخت که با فرایند ارزیابی از پیش تعریف شده ای، به نتایج این امکانات حرکتی امتیاز بدهد و پاسخ هایش را بر مبنای این امتیازها تغییر دهد. معمولاً برای یک «ارگانیسم»، این نوع پاسخ به محیط را یکی از جنبه های مهم «هوش» در نظر می گیرند.
اگر برای لحظه ای به عقب برگردیم، می بینیم که فن محاسبات با دو مسئله متولد شد، یکی مربوط به نیازهای زندگی عملی و دیگری مربوط به نیازهای ستاره شناسی که علمی تازه بود. به تدریج که مسائل پیچیده تر شدند، روش های قدرتمندتری لازم بود. سرانجام دوره ی اختراعات مکانیکی رسید که در اولین سال های قرن بیستم به بار نشست. در ابتدا هدف ساختن ماشین هایی بود که مشکلات حسابداری تجاری را کاهش دهند و نهایتاً این ماشین ها به کمک حل مسائل علمی آمدند.
اما با اختراع سِروُمکانیسم ها، لامپ های خلأ، واحدهای حافظه، ترانزیستورها و مانند آن ها، انسان ناگهان دریافت که دستگاهی را کشف کرده است که بسیار فراتر از قدرت خود انسان است. علم گامی بزرگ به پیش نهاد. ماشین می توانست به طور شگفت انگیزی به استدلال استنتاجی بپردازد، به این معنی که می توانست مسائل پیچیده ای را که بر حسب جبر بولی فرمولبندی شده بودند حل کند. ماشین می توانست زنجیره ی پیچیده ای از عملیات را به خاطر بسپرد؛ می توانست تصاویری بسازد و عکس آن ها را رسم کند؛ می شد ماشین را تا حدی برای مسئله ی ترجمه ی زبان ها به کار گرفت. ماشین می توانست پیچیده ترین معادلات را حل کند - در واقع ماشین می توانست بیشتر چیزهایی را که انسان چه در زندگی روزمره و چه در تلاش های علمی نیاز داشت در اختیار او بگذارد.
چیزی نگذشت که برخورد چنین ماشینی با اجتماع حس شد. کاربردری پس از کاربرد دیگر برای ماشین یافته می شد، کاربردهایی بس فراتر از رویاهای مخترعان اولیه ی آن. بسیاری از مشاغلی که قبل از آن با انرژی انسان انجام می شد به ماشین واگذار شد. رویای خودکارسازی در بسیاری از خطوط تلاش های بشری عملی شد و همان طور که در تاریخچه ی مختصر خود دیدیم، همه ی این ها نتیجه ی مستقیم محاسبات اولیه ی انسان، کشمکش او با راز کسرها، فرمولبندی ریاضی اندازه گیری ها و مطالعه ی سیارات بوده است.
بنابراین، داستان ما درباره ی محاسبه ی با اعداد پایانی ندارد، چون جامعه هنوز نمی داند که پایان آن چه خواهد بود. برخی معتقدند که ما هیولای فرانکنشتاینی به وجود آورده ایم که نهایتاً خودمان را نابود خواهد کرد؛ اما دیگران قدرت های ماشین را همچون جنِّ خدمتگزاری می بینند که زندگی انسان را بهبود خواهد بخشید.

پی نوشت ها :

1.Brook Taylor
2. Nicolaus Mercator
3. John Wallis
4. Niels Henric Abel
5. Augustin Louis Cauchy
6. Pierre Simon Laplace
7. George Boole
8. Method of relaxation
9. Norbert Wiener
10. Cybernetics
11. F.J. Murray

منبع مقاله :
دیویس، هارولد؛ (1384)، تاریخ محاسبه، مهران اخباریفر، تهران، انتشارات علمی و فرهنگی، چاپ اول..